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人教版八年级上册数学13.4 课题学习《最短路径问题》教案设计


人教版八年级上册数学 13.4 课题学习《最短路径问题》教案设计
13.4 课题学习 《最短路径问题》教学设计
教学目标: 知识与技能:通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两 点之间线段最短和垂线段最短。 过程与方法:让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学 生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想好方法。 情感态度与价值观: 在数学学习活动中活动成功的体验,树立自信心,激发学习的兴 趣,感受到数学与现实生活的密切联系。 教学重点:运用所学知识解决最短路径问题。 教学难点: 选择合理的方法解决问题。 教学过程: 最短路径问题 (1)出示如图所示:从 A 地到 B 地有三条路可供选择,你会选 择哪条路距离最短?你的理由是什么?
两点之间,线段最短 (2)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,
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只要连接这两点,与直线的交点即为所求. 例 1:如图,要在燃气管道 L 上修建一个泵站,分别向 A、B 两
镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短? :解:如图所示,点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点,在 l 上找
一个点 C,使 CA+CB 最短,这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点.
归纳:求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问 题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求. 例 2:如图,如果 A,B 在燃气管道 L 的同旁,泵站应修在管道 的什么地方,可使所用的输气管线最短?
分析:点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点,在 l 上找一个点 C, 使 CA+CB 最短,这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B′,则点 C 是 直线 l 与 AB′的交点.
为了证明点 C 的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一 点 C′,连接 AC′,BC′,B′C′,证明 AC+CB<AC′+C′B. 如下:
证明:由作图可知,点 B 和 B′关于直线 l 对称,
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所以直线 l 是线段 BB′的垂直平分线. 因为点 C 与 C′在直线 l 上, 所以 BC=B′C,BC′=B′ C′. 在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′, 所以 AC+B′C<AC′+B′C′, 所以 AC+BC<AC′+C′B. 归纳:求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只 要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点, 则与该直线的交点即为所求. 练习: 1 在图中直线 l 上找到一点 M,使它到 A,B 两点的距离和最小.
分析:先确定其中一个点关于直线 l 的对称点,然后连接对称点 和另一个点,与直线 l 的交点 M 即 为所求的点.
解:如图所示:(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B′; (2)连接 AB′交直线 l 于点 M. (3)则点 M 即为所求的点. 点拨:运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化 到一条直线上,然后用“两点之间线段最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为 一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何
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变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点 到直线上某点的距离 和最小 这个核心,所有作法都相同.
警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对 称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用 的一种方法.解决这类最值问题时,要认真审题,不要只注意图形而 忽略题意要求, 审题不清导致答非所问.
3.生活中的距离最短问题 由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知,求距 离之和最小问题,就是运用等量代换的方式,把几条线段的和想办法 转化在一条线段上,从而解决这个问题,运用轴对称性质,能将两条 线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段,如图,AO+BO= AC 的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本 方法.
(实际应用题)某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图 a 所示 两直排(图中的 AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,OB 桌面上摆满了 糖果,站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到 D 处座位上, 请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?

图a

图b

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解:如图 b. (1) 作 C 点关于 OA 的 对称点 C1,作 D 点关于 OB 的对称点
D1,(2)连接 C1D1,分别交 OA,OB 于 P,Q,那么小明 沿 C→P→Q→D 的路线行走,所走的总路程最短。 (2)
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