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2017-2018学年北京市平谷区2018届初三第一学期期末数学试题(含答案)


平谷区 2017~2018 学年度第一学期期末质量监控试卷

初 三 数 学 2018 年 1 月
考 生 须 知 1.试卷分为试题和答题卡两部分,所有试题均在答题卡上 作答. ...... 2.答题前,在答题卡上考生务必将学校、班级、准考证号、姓名填写清楚. 3.把选择题的所选选项填涂在答题卡上;作图题用 2B 铅笔. 4.修改时,用塑料橡皮擦干净,不得使用涂改液.请保持卡面清洁,不要折叠.

一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. ..

a 1 a?b ? ,则 的值是 b 2 b 3 2 1 1 (A) (B) (C) (D) ? 2 3 2 2
1.已知 2.如图,AD∥BE∥CF,直线 l1 ,l2 与这三条平行线分别交于点 A,B,C 和 D,E,F.已知 AB=1,BC=3,DE=2,则 EF 的长是 (A)4 (B)5 (C)6 (D)8 3.下列各点在函数 y ? ? x 2 ? 1图象上的是 (A)(0,0)(B)(1,1)(C)(0,﹣1)(D)(1,0) 4.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,CD⊥AB 于 D, 则△CBD 与△ABC 的周长比是 (A)

1 1 3 3 (B) (C) (D) 4 2 2 3 3 4 3 5 (B) (C) (D) 5 5 4 3

5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则 sinB 的值是 (A)

6.如图,△ABC 内接于⊙O,连结 OA,OB,∠ABO=40°,则∠C 的度 数是 (A)100°(B)80°(C)50°(D)40° 7.反比例函数 y ?

2 的图象上有两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,若 x1>x2,x1x2>0, x

则 y1-y2 的值是 (A)正数(B)负数(C)0(D)非负数 8.如图,在平面直角坐标系中,点 A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2), D(1,﹣2),按 A→B→C→D→A?排列,则第 2018 个点所在的坐标是 (A)(1,1)(B)(﹣1,1) (C)(﹣1,﹣2)(D)(1,﹣2)

二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)

9.将二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 化为 y ? ? x ? h ? ? k 的形式,则 h=,k=.
2

10.圆心角为 120°,半径为 6cm 的扇形的弧长是 cm(结果不取近似值). 11.请写出一个过点(1,1),且与 x 轴无交点的函数表达式 . 12.已知菱形 ABCD 中,∠B=60°,AB=2,则菱形 ABCD 的面积是. 13.“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体 而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到 的“如何求圆的周长和面积”的方法, 即“割圆术”. “割圆术”的主 要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆.刘徽从圆内接正六边形出 发,将边数逐次加倍,并逐次得到正多边形的周长和面积.如图, AB 是圆内接正六边形的一条边,半径 OB=1,OC⊥AB 于点 D,则圆内接 正十二边形的边 BC 的长是(结果不取近似值). 14.关于 x 的二次函数 y ? ax2 ? 2ax ? a ?1 (a>0)的图象与 x 轴的 交点情况是. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△DEF 可以看作 是△ABC 经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转) 得到的,写出一种由△ABC 得到△DEF 的过程:. 16.下面是“作一个角等于 30°”的尺规作图过程. 作法:如图, (1)作射线 AD; (2)在射线 AD 上任意取一点 O(点 O 不与点 A 重合); (3)以点 O 为圆心,OA 为半径作⊙O,交射线 AD 于点 B; (4)以点 B 为圆心,OB 为半径作弧,交⊙O 于点 C; (5)作射线 AC. ∠DAC 即为所求作的 30°角. 请回答:该尺规作图的依据是 .

三、解答题(本题共 68 分,第 17-23 题,每小题 5 分,第 24 题 6 分,第 25 题 6 分,第 26、 27 题,每小题 7 分,第 28 题 8 分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算: 2sin 30? ? ? ? ? 8 ? ?3 .

?1? ? 2?

?1

18.如图,函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象经过点 A,B,C. (1)求 b,c 的值; (2)画出这个函数的图象.

19. 如图, ∠ABC=∠BCD=90°, ∠A=45°, ∠D=30°, BC=1, AC,BD 交于点 O.求

BO 的值. DO

20. 如图, AB 是⊙O 的直径, 弦 CD⊥AB 于 E, ∠A=15° , AB=4. 求 弦 CD 的长.

21.缆车,不仅提高了景点接待游客的能力,而且解决了登山困难者的难题.如图,当缆车 经过点 A 到达点 B 时,它走过了 700 米.由 B 到达山顶 D 时,它又走过了 700 米.已知线 路 AB 与水平线的夹角 ? 为 16°,线路 BD 与水平线的夹角 β 为 20°,点 A 的海拔是 126 米.求山顶 D 的海拔高度(画出设计图,写出解题思路即可).

22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= 于点 Q(2,m). (1)求 m,k 的值;

k (k>0,x>0)的图象与直线 y=2x﹣2 交 x

(2)已知点 P(a,0)(a>0)是 x 轴上一动点,过点 P 作平行于 y 轴的直线,交直线 y=2x ﹣2 于点 M,交函数 y=

k 的图象于点 N. x

①当 a=4 时,求 MN 的长; ②若 PM>PN,结合图象,直接写出 a 的取值范围.

23.如图,在□ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,过点 O 作 EO⊥BD,交 BA 延长线于 点 E,交 AD 于点 F,若 EF=OF,∠CBD=30°,BD= 6 3 .求 AF 的长.

24.如图,点 C 是以 AB 为直径的⊙O 上一动点,过点 C 作⊙O 直径 CD,过点 B 作 BE⊥ CD 于点 E.已知 AB=6cm,设弦 AC 的长为 xcm,B,E 两点间的距离为 ycm(当点 C 与点 A 或点 B 重合时,y 的值为 0).

小冬根据学习函数的经验,对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小冬的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量,得到了 x 与 y 的几组值,如下表: x/cm y/cm 0 0 1 1 2 1.9 3 2.6 4 3 5 m 6 0

经测量 m 的值是(保留一位小数). (2)建立平面直角坐标系,描出表格中所有各对对应值为坐标的点,画出该函数的图 象;

(3)在(2)的条件下,当函数图象与直线 y ? 数是.

1 x 相交时(原点除外),∠BAC 的度 2

25.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,点 O 是 AB 边上 一点,以 O 为圆心作⊙O 且经过 A,D 两点,交 AB 于点 E. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)AC=2,AB=6,求 BE 的长.

26.已知函数 y ? x2 ? 2mx 的顶点为点 D. (1)求点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示); (2)求函数 y ? x2 ? 2mx 的图象与 x 轴的交点坐标; (3)若函数 y ? x2 ? 2mx 的图象在直线 y=m 的上方,求 m 的取值范围.

27.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AB=AC.在平面内任取一点 D,连结 AD(AD<

AB),将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°,得到线段 AE,连结 DE,CE,BD. (1)请根据题意补全图 1; (2)猜测 BD 和 CE 的数量关系并证明; (3)作射线 BD,CE 交于点 P,把△ADE 绕点 A 旋转,当∠EAC=90°,AB=2,AD=1 时, 补全图形,直接写出 PB 的长.

A D
图1

A

B

C

B

C

28.在平面直角坐标系中,将某点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到 的点叫这个点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”. (1)以 O 为圆心,半径为 5 的圆上有无数对“互换点”,请写出一对符合条件的“互换点”; (2)点 M,N 是一对“互换点”,点 M 的坐标为(m,n),且(m>n),⊙P 经过点 M,N. ①点 M 的坐标为(4,0),求圆心 P 所在直线的表达式; ②⊙P 的半径为 5,求 m-n 的取值范围.

平谷区 2017~2018 学年度第一学期期末初三数学答案及评分参考
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

A

C

D

D

A

C

B

B

二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分) 9.1;2;10.4π;11.答案不唯一,如: y ?
2 3? ?1? ? 13. ? ? ? ?1 ? ? ? 2? 3 ; 2 ? ?2? ? ? ? 2

1 ; 12. 2 3 ; x

14.答案不唯一,如:△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° ;15.有两个不同交点; 16.答案不唯一,如:三边相等的三角形是等边三角形;圆周角的度数等于圆心角度数 的一半. 三、解答题(本题共 68 分,第 17-23 题,每小题 5 分,第 24 题 6 分,第 25 题 5 分,第 26、 27 题,每小题 7 分,第 28 题 8 分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解:原式= 2 ?

1 ? 2 ? 2 2 ? 3 .......................................................................................... 4 2

= 6 ? 2 2 . ......................................................................................................... 5 18.解:(1)∵抛物线经过点 A(﹣1,0),B(0,3), ∴?

??1 ? b ? c ? 0, . ......................................................................................... 2 ? c ? 3.
?b ? 2 ...................................................................................................... 4 ?c ? 3

解得 ?

(2)图略. ................................................................................................................... 5 19.解:∵∠ABC=∠BCD=90° , ∴AB∥CD. ................................................................................................................. 1 ∴∠A=∠ACD............................................................................................................ 2 ∴△ABO∽△CDO. ................................................................................................... 3 ∴

BO AB ? . ........................................................................................................... 4 CO CD

在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,∠A=45° ,BC=1, ∴AB=1. 在 Rt△BCD 中,∠BCD =90° ,∠D=30° ,BC=1, ∴CD= 3 . ∴

BO 1 3 . ................................................................................................. 5 ? ? CO 3 3

20.解:∵∠A=15° , ∴∠COB=30° . ........................................................................................................... 1

∵AB=4, ∴OC=2....................................................................................................................... 2 ∵弦 CD⊥AB 于 E, ∴CE=

1 CD. .............................................................................................................. 3 2

在 Rt△OCE 中,∠CEO=90° ,∠COB=30° ,OC=2, ∴CE=1. ...................................................................................................................... 4 ∴CD=2....................................................................................................................... 5 21.解:如图,........................................................................................................................... 1

在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,∠ ? =16° ,AB=700,由 sin ? , 可求 BC 的长. .......................................................................................................... 2 即 BC=AB· sin ? =700sin16° , 在 Rt△BDE 中,∠DBE=90° ,∠β=16° ,BD=AB=700,由 sinβ, 可求 DE 的长. .......................................................................................................... 3 即 DE=BD· sinβ=700sin20° , 由矩形性质,可知 EF=BC=700sin16° , ................................................................. 4 FH=AG=126. 从而,可求得 DH 的长. .......................................................................................... 5 即 DH=DE+EF+FH=700sin20° +700sin16° +126. 22.解:(1)∵直线 y=2x﹣2 经过点 Q(2,m), ∴m=2. ........................................................................................................................ 1 ∴Q(2,2). ∵函数 y=

k 经过点 Q(2,2), x

∴k=4. ......................................................................................................................... 2 (2)①当 a=4 时,P(4,0). ∵反比例函数的表达式为 y=

4 . .................................................................... 3 x

∴M(4,6),N(4,1). ∴MN=5. ........................................................................................................... 4 ②∵PM>PN, ∴a>2. ............................................................................................................. 5

23.解:方法一: ∵□ABCD,

∴AD∥BC,OD=

1 BD= 3 3 . ................................................................................ 1 2

∵∠CBD=30° , ∴∠ADB=30° . ∵EO⊥BD 于 O, ∴∠DOF=90° . 在 Rt△ODF 中,tan30° =

OF 3 , ? OD 3

∴OF=3. ..................................................................................................................... 2 ∴FD=6. 过 O 作 OG∥AB,交 AD 于点 G. ∴△AEF∽△GOF. ∴

AF EF ? . GF OF

∵EF=OF, ∴AF=GF. ∵O 是 BD 中点, ∴G 是 AD 中点. ........................................................................................................ 3 设 AF=GF=x,则 AD=6+x. ∴AG= x ? x ?

6? x . ................................................................................................ 4 2

解得 x=2. ∴AF=2. .................................................................................................................... 5 方法二:延长 EF 交 BC 于 H. 由△ODF≌△OHB 可知, OH=OF. .......................................... 3 ∵AD∥BC, ∴△EAF∽△EBH. ∴

EF AF ? . EH BH AF 1 ? . ............................................................................................................... 4 BH 3

∵EF=OF, ∴

由方法一的方法,可求 BH=6. ∴AF=2. 24.解:(1)m=2.76;............................................................................................................. 1 (2)如图;................................................................................................................. 4 (3)如图. ............................................................................................. 5 ∠BAC =30°.................................................................................................... 6

25.(1)证明:连结 OD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA. ∵AD 平分∠BAC, ∴∠CAD=∠OAD. ∴∠CAD=∠ODA. ∴OD∥AC.................................................................................................... 1 ∵∠ACB=90° , ∴∠ODB=90° . ............................................................................................. 2 即 OD⊥BC 于 D. ∴BC 是⊙O 的切线. ................................................................................................. 3 (2)解:∵OD∥AC, ∴△BDO∽△BCA. ∴

OD BO ? . ............................................................................................. 4 AC BA

∵AC=2,AB=6, ∴设 OD=r,则 BO=6﹣r.

r 6?r ? . 2 6 3 解得 r= . 2
∴ ∴AE=3. ∴BE=3. ........................................................................................................ 5 26.解:(1) y ? x ? 2mx
2

? ? x ? m ? ? m 2 .......................................................................................................... 1
2

∴D(m, ?m ). ........................................................................................................ 2
2 2 (2)令 y=0,得 x ? 2mx ? 0 .

解得 x1 ? 0,x2 ? 2m . ∴函数的图象与 x 轴的交点坐标(0,0),(2m,0). .................................... 4 (3)方法一:∵函数 y ? x ? 2mx 的图象在直线 y=m 的上方,
2

∴顶点 D 在直线 y=m 的上方. ................................................................................. 5 ∴ ?m2 >m................................................................................................................. 6 即 m 2 ? m <0. 由 y= m 2 ? m 的图象可知,m 的取值范围为:﹣1<m<0. .................................. 7 方法二:∵函数 y ? x2 ? 2mx 的图象在直线 y=m 的上方, ∴ x 2 ? 2mx >m. ............................................................................................... 5 ∴当 x 2 ? 2mx =m 时,抛物线和直线有唯一交点. ∴ ? = ? ?2m ? ? 4 ? ? m ?
2

= 4m2 ? 4m ? 0 . 解得 m1 ? 0, m2 ? ?1 . ................................................................................... 6 ∴m 的取值范围为:﹣1<m<0. .................................................................... 7

27.解:(1)如图..................................................................................................................... 1

(2)BD 和 CE 的数量是:BD=CE ; ................................................................... 2 ∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90° , ∴∠DAB=∠CAE. ..................................................................................................... 3 ∵AD=AE,AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴BD=CE.................................................................................................................... 4 (3)PB 的长是

2 5 6 5 或 ................................................................................. 7 5 5

28.解:(1)答案不唯一,如:(4,3),(3,4); ........................................................... 2 (2)①连结 MN, ∵OM=ON=4, ∴Rt△OMN 是等腰直角三角形. 过 O 作 OA ⊥ MN 于点 A , ∴点 M,N 关于直线 OA 对称. ......................................................... 3 由圆的对称性可知,圆心 P 在直线 OA 上. ................................. 4 ∴圆心 P 所在直线的表达式为 y=x. ................................................ 5 ②当 MN 为⊙P 直径时,由等腰直角三角形性质,可知 m-n= 5 2 ; ..... 6 当点 M,N 重合时,即点 M,N 横纵坐标相等,所以 m-n=0;.................. 7 ∴m-n 的取值范围是 0<m-n≤ 5 2 . .................................................... 8



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