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安徽省2019年中考数学二轮复习题型四:规律探索题 有答案


题型四 规律探索题
类型一 数式规律探索
1. (2018 霍邱县一模)如下数表是由 1 开始的连续自然数组成的,观察规律并完成各题的解答:
(1)第 9 行的最后一个数是________; (2)第 n 行的第一个数是________,第 n 行共有________个数;第 n 行各数之和为____________. 2. (2018 安庆二模)观察下列等式: (1)1-12+1×1 2=1; (2)12-14+3×1 4=13; (3)13-16+5×1 6=15; … 根据上述规律解决下列问题: (1)写出第(4)个等式:(________)-(________)+(________)=(________); (2)写出你猜想的第(n)个等式,并证明.
3. 观察下列等式: ①11+12-12=11; ②13+14-112=12; ③15+16-310=13;

④17+18-516=14; … (1)请根据以上规律写出第 5 个等式:__________________________; (2)猜想并写出第 n 个等式,并验证其正确性.
4. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式: 第 1 层 1+2=3; 第 2 层 4+5+6=7+8; 第 3 层 9+10+11+12=13+14+15; 第 4 层 16+17+18+19+20=21+22+23+24;
… (1)填空:第 6 层等号右侧的第一个数是________,第 n 层等号右侧的第一个数是________(用 含 n 的式子表示,n 是正整数),数字 2017 排在第几层?请简要说明理由; (2)求第 99 层右侧最后三个数字的和.
5. (2018 太和县模拟)观察下列等式: ①1+2=3; ②4+5+6=7+8; ③9+10+11+12=13+14+15; ④16+17+18+19+20=21+22+23+24; … (1)试写出第五个等式; (2)根据你的发现,试说明 145 是第几行的第几个数?
6. 按如下方式排列正整数,第 1 行有 1 个数,第 2 行有 3 个数,第 3,4 行分别有 7 个、13 个数.依此规律,解答下列问题:
1 234 3456789 4 5 6 7 8 9 10…15 16 … (1)第 10 行有________个数,第 n 行有________个数(结果用含 n 的式子表示); (2)第 2,3,4 行都含有数 4,其中第 2 行最先出现 4,那么 2019 最先出现在第几行?
7. 已知下列等式:

①32-12=8, ②52-32=16, ③72-52=24, … (1)请仔细观察,写出第 4 个式子; (2)根据以上式子的规律,写出第 n 个式子,并用所学知识说明第 n 个等式成立; (3)利用(2)中发现的规律计算:8+16+24+…+792+800.
8. 【问题提出】观察下列图形,回答问题:
第 8 题图 由此可以得出第 1 个图形中所有线段的长度的和是 1,第 2 个图形中所有线段的长度的和是 4, 第 3 个图形中所有线段的长度的和是 10,第 4 个图形中共有________条线段,所有线段的长度的和 是________; 【规律探索】在计算第 1,2,3 个图形中所有线段的长度的和的时候,得出了下列等式: 1×1=1×62×3; 1×2+2×1=2×63×4; 1×3+2×2+3×1=3×64×5; 第 4 个等式为____________; … 【问题解决】求第 n 个图形中所有线段的长度的和.
9. (2017 安徽 19 题)我们知道,1+2+3+…+n=n(n2+1),那么 12+22+32+…+n2 结果等 于多少呢?
在图①所示三角形数阵中,第 1 行圆圈中的数为 1,即 12;第 2 行两个圆圈中数的和为 2+2,

即 22;……;第 n 行 n 个圆圈中数的和为 n+n+…+n,\s\do4(n 个 n)),即 n2.这样,该三角形数阵中 共有n(n2+1)个圆圈,所有圆圈中数的和为 12+22+33+…+n2.
第 9 题图① 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置 圆圈中的数(如第 n-1 行的第一个圆圈中的数分别为 n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数 的和均为________.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+…+n2) =________,因此,12+22+32+…+n2=________.
第 9 题图② 【解决问题】 根据以上发现,计算121++222+ +33+2+……++220011772的结果为________.

类型二 图形规律探索
1. 下列各图形中的“ ”的个数和“△”的个数是按照一定规律摆放的:

第 1 题图

(1)观察图形,填写下表:

第 n 个图形

123 4 …

“ ”的个数

3 6 9 12 …

“△”的个数

1 3 6 10 …

(2)当 n=________时,“△”的个数是“ ”的个数的 2 倍.

2. 用同样大小的“ ”按如图所示的规律摆放:

n ________ ________

第 2 题图 (1)第 5 个图形有多少枚“ ”? (2)第几个图形有 2018 枚“ ”?请说明理由.
3. 如图,图①中小黑点的个数记为 a1=4,图②中小黑点的个数记为 a2=8,图③中小黑点的 个数记为 a3=13,…
第 3 题图 根据以上图中的规律完成下列问题: (1)图④中小黑点的个数记为 a4,则 a4=________; (2)图 n 中小黑点的个数记为 an,则 an=________(用含 n 的式子表示); (3)第几个图形中的小黑点的个数为 43 个?
4. (1)观察下列图与等式的关系,并填空:

放置

放置

放置方式①

方式①

方式②

中圆圈的个数

1+2=3×2 2=3

2+3+4=6×2 3=9

3+4+5+6=9×2 4

=18

4+5+6+7+8 =______=______







n+(n+1)+…+

______=______

(2)一堆按“放置方式①”放置的圆圈,小明数得共有 165 个圆圈,请你计算最上面有几个圆

圈?

5. (2018 安徽名校大联考)如图,下列每个图案均是由若干边长为 1 的小正方形按一定的规律堆 叠而成,探究规律,解答问题.
第 5 题图
(1)请根据你的探究直接写出:第 10 个图案中共有______个小正方形,第 n 个图案中共有______ 个小正方形;
(2)是否存在有 37 个小正方形的图案?若存在,请求出是第几个图案;若不存在,请说明理由.
6. 观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律: (1)认真观察图①,并填写出第 4 个点阵图相应的等式.

第 6 题图① (2)结合(1)观察图②,并填写出第 5 个点阵图相应的等式.

第 6 题图② (3)通过猜想,直接写出(2)中与第 n 个点阵图相对应的等式.
7. (2018 怀远县模拟)如图,正方形 ABCD 内部有若干个点,用这些点以及正方形 ABCD 的顶 点 A、B、C、D 把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠):

(1)填写下表:

第 7 题图

正方形 ABCD 内点的个数

12

3

4



n

分割成的三 角形的个数

4 6 ____ ____ … ____

(2)原正方形能否被分割成 2008 个三角形?若能,求此时正方形 ABCD 内部有多少个点?若不

能,请说明理由.

8. (2018 合肥包河区一模)如图,每个图形可以看成由上下左右 4 个等腰梯形组成或者是由外围

大正方形减去正中间的正方形(阴影部分)所得,而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全 等等腰直角三角形组成,且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半,设小正方形的面积 为 1,则第 1 个图形的面积为 4×(2×1+4×12)=16,第 2 个图形的面积为 4×(5×1+5×12)=30, 第 3 个图形的面积为 4×(9×1+6×12)=48,…
根据上述规律,解答下列问题: (1)第 4 个图形的面积为:4×(____×1+____×12)=____, (2)第 n 个图形的面积为:4×[____×1+____×12](用含 n 的式子填空); (3)上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间 1 个小正方形组成,这时,第 1 个图形的面积 为(3 2)2-2,第 2 个图形的面积为(4 2)2-2,第 3 个图形的面积为(5 2)2-2,… 再根据这个规律,完成下列问题: ①按此规律,第 n 个图形的面积为:[____]2-2(用含 n 的式子填空); ②比较两个猜想,写出你发现的结论并验证.
第 8 题图 9. (2016 安徽)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:
第 9 题图① (2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含有 n 的代数式填空: 1+3+5+…+(2n-1)+(________)+(2n-1)+…+5+3+1=________.

第 9 题图②
参考答案
类型一 数式规律探索 1. 解:(1)81;
【解法提示】根据题意,观察发现:第 1 行的最后一个数为 12=1,第 2 行的最后一个数为 22 =4,第 3 行的最后一个数为 32=9,第 4 行的最后一个数为 42=16,第 5 行的最后一个数为 52=25, 第 6 行的最后一个数为 62=36,…,∴第 n 行的最后一个数为 n2,∴第 9 行的最后一个数是 81.
(2)(n-1)2+1,2n-1, (n2-n+1)(2n-1). 【解法提示】观察发现:第 1 行的第一个数为(1-1)2+1=1,第 2 行的第一个数为(2-1)2+1 =2,第 3 行的第一个数为(3-1)2+1=5,第 4 行的第一个数为(4-1)2+1=10,第 5 行的第一个数 为(5-1)2+1=17,第 6 行的第一个数为(6-1)2+1=26,…,∴第 n 行第一个数为(n-1)2+1; 观察发现:第 1 行共有 1 个数,第 2 行共 3 个数,第 3 行共 5 个数,第 4 行共 7 个数,第 5 行 共 9 个数,第 6 行共 11 个数,…,∴第 n 行共(2n-1)个数; 由(1)知第 n 行的最后一个数为 n2, ∴第 n 行的各数之和为(n-1)22+1+n2·(2n-1)=(n2-n+1)(2n-1). 2. 解:(1)14,18,7×1 8,17; 【解法提示】观察上述等式发现: 第(1)个等式:1-2×1 1+1×(11+1)=2×11-1=1; 第(2)个等式:12-2×1 2+(2×2-1)1×(2×2)=2×12-1=13; 第(3)个等式:13-2×1 3+(2×3-1)1×(2×3)=2×13-1=15;

∴第(4)个等式为:14-2×1 4+(2×4-1)1×(2×4)=2×14-1=17.即14-18+7×1 8=17.

(2)第(n)个等式为1n-21n+2n(21n-1)=2n1-1.

证明:

左边=2(2n-21n)(-2n(-21n)-1)+1=4n2-n(2-22n-n+1)1+1=2n1-1=右边.

∴原式成立.

3. 解:(1)19+110-910=15;

【解法提示】观察发现:第①个等式:2×11-1+2×1 1-(2×1-11)(2×1)=11;第②个等





1 2×2-1



1 2×2



1 (2×2-1)(2×2)



1 2















1 2×3-1



1 2×3



(2×3-11)(2×3)=13;第④个等式:2×14-1+2×1 4-(2×4-11)(2×4)=14;∴第⑤个等

式:2×15-1+2×1 5-(2×5-11)(2×5)=15,即19+110-910=15;

(2)根据上述规律,得第 n 个等式为2n1-1+21n-2n(21n-1)=1n.

证明:左边=22nn+(22nn--11-)1=22n((22nn--11))=1n=右边,

∴等式成立.

4. (1)43,n2+n+1;2017 排在第 44 层,理由略;

(2)第 99 层右侧最后三个数字的和为 29994.

5. 解:(1)根据题意可得,第五个等式为 25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35; (2)根据已知等式得,第 n 行的第 1 个数为 n2, ∵122=144,

∴145 是第 12 行的第 2 个数.

6. 解:(1)91,n2-n+1;

【解法提示】根据题意可知,

第 2 行最后一个数为 4=22,数字个数是 22-1; 第 3 行最后一个数为 9=32,数字个数是 32-2; 第 4 行最后一个数为 16=42,数字个数是 42-3;…, ∴第 10 行最后一个数为 102=100,数字个数是 102-9=91; 第 n 行最后一个数为 n2,数字个数是 n2-(n-1)=n2-n+1. (2)∵第 44 行最后一个数是 442=1936, 第 45 行第一个数字是 45,而最后一个数字是 452=2025,45<2019<2025,

∴2019 最先出现在第 45 行.

7. 解:(1)∵第 1 个式子为:32-12=(2×1+1)2-(2×1-1)2=8×1; 第 2 个式子为:52-32=(2×2+1)2-(2×2-1)2=8×2; 第 3 个式子为:72-52=(2×3+1)2-(2×3-1)2=8×3; ∴第 4 个式子为:(2×4+1)2-(2×4-1)2=92-72=8×4=32; 即第 4 个式子为:92-72=32;

(2)由(1)的推理过程可得, 第 n 个式子为:(2n+1)2-(2n-1)2=8n; 证明:∵左边=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n=右边,

∴所写等式成立;

(3)8+16+24+…+792+800=32-12+52-32+72-52+…+2012-1992=2012-1=40400.

8. 解:【问题提出】10,20;

【规律探索】1×4+2×3+3×2+4×1=4×65×6;

【问题解决】n(n+1)6(n+2).

9. 解:【规律探究】2n+1,

n(n+1)2(2n+1),

n(n+1)6(2n+1);

【解法提示】第 n-1 行的第一个圆圈中的数分别为 n-1,2,n,则 n-1+2+n=2n+1;3(12



22



32







n2)



(1



2



3







n)(2n



1)



n(n+1)(2n+1) 2



12



22



32







n2



n(n+1)(2n+1) 1

2

·3

=n(n+1)6(2n+1).

【解决问题】1345. 【解法提示】

12+22+32+…+20172

1+2+3+…+2017

2017×(2017+1)(2×2017+1)



6 2017×(2017+1)

2

=2×20317+1=1345.

类型二 图形规律探索

1. 解:(1)完成表格如下:

第n个 图形

123 4 …

n

“ ”的 个数

3 6 9 12 …

3n

“△”的 个数

1 3 6 10 …

n(n+1) 2

(2)11. 【解法提示】根据题意知n(n+ 2 1)=2×3n,

解得 n=0(舍去)或 n=11, ∴当 n=11 时,“△”的个数是“ ”的个数的 2 倍.

2. 解:(1)图①有 2 枚“ ”,2=2×12, 图②有 8 枚“ ”,8=2×22, 图③有 18 枚“ ”,18=2×32,


图⑤有 2×52=50,

∴第五个图形有 50 枚“ ”; (2)由(1)可得第 n 个图形有(2n2)枚“ ”,令 2n2=2018, 此方程无整数解,

∴没有哪个图形有 2018 枚“ ”.

3. 解:(1)19;

【解法提示】根据题意知 a4=1+2+3+4+5+4=19. (2)12n2+52n+1; 【解法提示】an=1+2+3+…+n+n+1+n=n(n2+1)+2n+1=12n2+52n+1.

(3)当12n2+52n+1=43 时,

解得:n=7(负值舍去),

∴第 7 个图形中的小黑点的个数为 43 个.

4. 解:(1)122×5,30,2n,3n(n2+1);

(2)由题意得,3n(n2+1)=165,解得 n1=10,n2=-11(舍去),即最上面有 10 个圆圈. 5. 解:(1)56,n(n2+1)+1(或n2+2n+2);

【解法提示】观察发现:第 1 个图案有 1+1=2 个小正方形;

第 2 个图案有 1+2+1=4 个小正方形;

第 3 个图案有 1+2+3+1=7 个小正方形;

第 4 个图案有 1+2+3+4+1=11 个小正方形;



∴第 10 个图案有 1+2+3+4+…+10+1=56 个小正方形;

第 n 个图案有 1+2+3+4+…+n+1=n(n2+1)+1 个小正方形.

(2)存在.理由如下:

令n(n+ 2 1)+1=37,

解得 n=-9(舍去),或 n=8,

∴存在有 37 个小正方形的图案,是第 8 个图案.

6. 解:(1)1+2+3+4=(1+24)×4=10;

(2)10+15=52;

(3)由(1)(2)可知,n(n2-1)+n(n2+1)=n2.

【解法提示】可以将(2)中点阵图分为两部分,一部分与(1)的点阵图完全相同,剩余部分与(1)

中前一部分的点阵图完全相同,因此可以得出(2)中第 n 个点阵图等于(1)中第 n 个点阵图和 n-1 个

点阵图之和,∴n2=n(n2-1)+n(n2+1).

7. 解:(1)填写下表:

正方形

ABCD 内的

123 4 …

n

点的个数

分割成的

三角形的

4 6 8 10 … 2n+2

个数

【解法提示】观察图形发现:有 1 个点时,内部分割成 4 个三角形;有 2 个点时,内部分割成

4+2=6 个三角形;有 3 个点时,内部分割成 4+2×2=8 个三角形;有 4 个点时,内部分割成 4+

2×3=10 个三角形;…

∴有 n 个点时,内部分割成 4+2×(n-1)=(2n+2)个三角形;(2)能.

令 2n+2=2008,解得 n=1003.

即此时正方形 ABCD 内部有 1003 个点.

8. 解:(1)14,7,70;

(2)(2+3+4+…+n+n+1)(形式不唯一),n+3;

(3)①(n+2) 2;

【解法提示】观察图形可知,第 1 个图形的面积为[(1+2) 2]2-2=(3 2)2-2;第 2 个图形的

面积为[(2+2) 2]2-2=(4 2)2-2,第 3 个图形的面积为[(3+2) 2]2-2=(5 2)2-2,…

∴第 n 个图形的面积为[(n+2) 2]2-2.

② 4[(2+3+4+…+n+n+1)×1+12(n+3)]=[(n+2) 2]2-2.

证明:右边=2n2+8n+6; 左边=4[n(n2+3)+n+2 3]=2(n+3)(n+1)=2n2+8n+6,
∴左边=右边.
即 4[(2+3+4+…+n+n+1)×1+12(n+3)]=[(n+2) 2]2-2.
9. 解:(1)42;n2; 【解法提示】观察每一行图形变换,可以发现,当小球有 4 行时,小球的总个数=4×4=42(个),
∴第一个空填“42”;根据此规律可知,当小球有 n 行时,小球的总数=n·n=n2,∴第二个空填“n2”. (2)2n+1;2n2+2n+1. 【解法提示】在连续的奇数中,2n-1 后边的数是 2n+1,∴第一个空填“2n+1”;由第(1)
小题的结论可知,在等式的左边的数中,“2n-1”前面的所有数之和等于 n2,后面的所有的数之 和也等于 n2,∴总和=n2+(2n+1)+n2=2n2+2n+1,∴等式的右边填“2n2+2n+1”.



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