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陕西省石泉县高中数学第一章数列1.3.2等比数列前N项和课件北师大版必修5_图文


复习:等比数列 {an}

(1) 等比数列: (2) 通项公式: (3) 重要性质:

an+1 an =q (定值) an=a1?q n-1

m+n=p+q

an= am? qn-m an?am = ap?aq

注:以上 m, n, p, q 均为自然数

引入典故,提出问题


(西

萨)

?

(国

王)

如何表示西萨要的麦粒数? 问题:

1 + 2 + 2 + ??? + 2 + 2 =
2 62 63

?

1.3.2等比数列的前n项和 (第一课时)

合作探究,解决问题
探讨: 西萨要求的麦粒总数是:

S 64 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 62

63



请问 :1, 2, 22,, ... 263 构成什么数列?

1 ? 2 ? 2 ? ...... ? 2 ? 2 应归结为什么数学问题呢?
2 62 63

S64=1+2+22+· · · + 262 +263



探讨1: 观察相邻两项的特征,有何联系? 探讨2:
如果我们把每一项都乘以2,

就变成了与它相邻的 后一项
①式两边同乘以2则有 2S64=2+22+23+· · · +263+264 ②

比较①、②两式,你有什么发现?

错位相减法
S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? 262 ? 263

64

2 S 64 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 ?2
63



S64 ? 2 ? 1
64

类比推理,形成体系
一般地,等比数列a1,a 2 ,a3 ,a n , ,它的前n项和是

sn ? a1 ? a2 ? a3 ????? an?1 ? an

sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ??? ? a1q
2

n?2

? a1q

n ?1




qsn ?a1q ? a1q

2

? a1q ? ??? ? a1q
3

n ?1

? a1q

n

(1 ? q)S n ? a1 ? a1q ①- ②得:

n

错位相减法
sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ??? ? a1q
2 n?2

? a1q

n ?1




sn a1 n ?3 n?2 ? ? a1 ? a1q ? ? ? a1q ? a1q q q
1 a1 n ?1 ( ? 1 ) S ? ? a q ②-①得: n 1 q q

即 (1 ? q)S n ? a1 ? a1q

n

( 1 ? q)S n ? a1 ? a1q
q ? 1时,S n ? a1 ? a1 ? a1 ?

n

? a1 ? a1 ? na1

a1 ? a1q q ? 1时,S n ? 1? q

n

a1 ? an q Sn ? 1? q 把S n用a1 , q, an 表示

an ? a1q n ?1

公式一

公式二

公式辨析,加深理解
三个易错点:
()等比数列求和时,应考虑 1 q ? 1与q ? 1两种情况;
(2)公式中n指项数,应首尾结合找准项数;

(3)S n和an中q的指数不一样,前者是n,后者是n ? 1

公式应用,巩固新知
例1.判断是非 5n
n

5(1 ? 1 ) 5 ? 5 ? 5 ??? 5 ? ?0 1?1
1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? (?2)
2 3 n
n个

n ?1

?

1 ? (1 ? 2 2 ) 1 ? (?2)
n n n+1

n

n ( ? 2)

1? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?
10:26:03

1? (1 ? 2 ) 1? 2

变式训练,加深认识
63 1 1 1 1 1、 等比数列 , , , , ? ? ?前多少项的和是 ? 2 4 8 16 64

1 1 1 1 例2.求等比数列 , , , , ? 前8项和. 2 4 8 16

2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ?, 求第5项到第10项的和. 2 4 8 16
3、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ?求前2n项中所有偶数项的和. 2 4 8 16
a1、q、n、an、Sn中

知三求二

故事结束,首尾呼应
1? ( 1? 2 ) S 64 ? 1? 2
64

? 2 ?1
64

? 18446744073709551615 ? 1.84 ?10
19

1000粒麦子的质量约为40g 麦粒的总质量超过了7000亿吨

据查,到目前为止,世界小麦年产 量最高的一年2011年有7亿吨,按每 年7亿吨计算都要用1000多年才能满 足西萨的要求;如果按人均每天吃 1000 克粮食计算,此棋盘上的粮食可 ______ 供全世界_____ 70 亿人吃上_____ 274 年.
所以国王兑现不了他的承诺。

总结归纳,提炼深化
我们学到了什么?
1.等比数列的前n项和公式; 2.公式的推导方法:错位相减法;
3.公式的简单应用 知三求二; 4.渗透数学思想:特殊到一般、类比、化归、 分类讨论、整体变换和方程等思想方法。

内部文件,请勿外传

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