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河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

发布时间:

唐山市第一中学 2019-2020 学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题(本大题共 12 小题)

1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},集合 B={x|2x+1>1},则? BA=()

A. [3,+∞)

B. (3,+∞)

C. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) D. (﹣

∞,﹣1)∪(3,+∞)

【答案】A

【解析】





A {x | x2 2x 3 0} {x | (x 1)(x 3) 0} (1,3)



B x 2x1 1 (1, ) ,所以 CB A [3, ) ;故选 A.

2.若 a =log20.5,b=20.5,c=0.52,则 a ,b,c 三个数的大小关系是( )

A. a <b<c

B. b<c< a

C. a <c<b

D.

c< a <b

【答案】C

【解析】

a=log20.5<0,b=20.5>1,0<c=0.52<1, 则 a<c<b,

故选 C.

x ln x

3.函数 f (x)

图像是( )

x

A.
【答案】B 【解析】

的B.

C.

D.

【详解】首先由函数解析式可知函数

f

x

xln x x

为奇函数,故排除 A,C,又当 x 0

时,

f x xlnx ln x ,在 0, 上单调递增,故选 B
x

4.幂函数 f x m2 m 1 xm2m3 在 0, 时是减函数,则实数 m 的值为 (

)

A. 2 或 1
【答案】B 【解析】

B. 1

C. 2

D. 2 或 1

m2 m 1 1 由题意得 m2 m 3 0 m 1,选 B.

点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间[a,b] 上

单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段 的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性 对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
5.若函数 y f (x) 的定义域是 0, 4,则函数 g(x) f (x) f x2 的定义域是( )

A. 0, 2

B. 0, 4

C. 0,16

D.

16,0 U0,16
【答案】A 【解析】
分析】 根据复合函数定义域之间的关系列不等式进行求解即可.
【详解】∵函数 f (x) 的定义域为 0, 4,

0 x 4 ∴由 0 x2 4 ,得 0 x 2,
则函数 g(x) 的定义域为 0, 2,
故选:A. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
6.在下列区间中,函数 f (x) ex 4x 3 的零点所在的区间为( )

A. (2, 1)
【答案】C 【解析】 【分析】

B. (1,0)

C.



0,

1 2



求函数值判断

f

(0)

f



1 2





0 即可求解

【详解】∵函数 f (x) ex 4x 3 在 R 上连续且单调递增,

D.



1 2

,1

且 f (0) e0 3 2 0 ,

f



1 2





e 23

1
e 1 e2 e0 0 ,



f

(0)

f



1 2





0



∴函数

f

(x)



ex



4x



3

的零点所在的区间为



0,

1 2

.

故选:C.

【点睛】本题考查函数零点存在性定理,熟记定理应用的条件是关键,属于基础题.

7.已知函数 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时,f (x) x(1 3 x ) ,则当 x 0 时,

f (x) 表达式是( )

A. x(1 3 x )

B. x(1 3 x )

C. x(1 3 x )

D.

x(1 3 x )
【答案】D 【解析】 【分析】
若 x 0 , 则 x 0 , 利 用 给 出 的 解 析 式 求 出 f x , 再 由 奇 函 数 的 定 义 即

f x f x ,求出 f x .
【详解】设 x 0 ,则 x 0,Q 当 x 0 时, f x x 1 3 x ,

f x x 1 3 x x 1 3 x ,

Q 函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数, f x f x,
f x x 1 3 x ,故选 D .
【点睛】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用,属于中档题. 本题题型可归纳为“已知
当 x 0 时,函数 y f x ,则当 x 0 时,求函数的解析式”.有如下结论:若函数 f x

为偶函数,则当 x 0 时,函数的解析式为 y f x ;若 f x 为奇函数,则函数的解析

式为 y f x .

8.函数 f (x) 在 R 上单调递减,且为奇函数.若 f (1) 1,则满足 1 f (x 2) 1的 x 的

取值范围是( )

A. [2, 2]

B. [1,1]

C. [0, 4]

D. [1,3]

【答案】D 【解析】
分析】

根据奇函数 f (x) ,可得 f 1 f 1 1,再由 f x 单调性,求得 x 2 的范围,解得 x
【的范围. 【详解】因为 f x 为奇函数,且 f 1 1,
所以 f 1 f 1 1,
因为函数 f (x) 在 R 上单调递减,
所以 1 f (x 2) 1,
可得 1 x 2 1, 所以1 x 3 ,
故满足要求的 x 的取值范围为1,3 .

故选 D. 【点睛】本题考查奇函数的性质,根据函数的单调性解不等式,属于简单题.

9. 已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( )

A. (2 2, )

B. [2 2, )

C. (3, )

D.

[3, )
【答案】C 【解析】
试 题 分 析 : Q 0 a b, f (a) f (b) , 0 a 1 b, 所 以

f (a) lg a lga, f (b) lgb lgb , 所 以 由 f (a) f (b) 得 lg a lgb , 即

lg a lg b lg(ab) 0 ,所以 ab 1,b 1 ,令 h(a) a 2b a 2 ,因为函数 h(a) 在

a

a

区间 (0,1) 上是减函数,故 h(a) h(1) 3 ,故选 C.

考点:对数函数性质,函数单调性与最值. 【此处有视频,请去附件查看】

ax , x…1

10.已知函数

f

(x)







4



a 2



x



2,

x

,若对任意的
1

x1 ,

x2

,且

x1



x2

都有

f x1 f x2 0 成立,则实数 a 的取值范围是( )
x1 x2

A. (1, )

B. [1,8)

C. (4,8)

D. [4,8)

【答案】D 【解析】 【分析】
先根据 f x1 f x2 0 判断出 f x 的单调性,再由每段函数的单调性以及分段点处函
x1 x2 数值的大小关系得到不等式组,求解出 a 的范围即可.
【详解】因为 f x1 f x2 0 ,可知 f x 在 R 上是增函数,
x1 x2



a 1

所以

4



a 2



0

,解得 4 a 8 .

a…4



a 2



2

故选 D. 【点睛】(1)通过分段函数的单调性求解参数范围,不仅要注意到每段函数的单调性,同时 对分段点处多段函数的函数值大小关系要确定好;

(2)若对任意的 x1 , x2 ,且 x1



x2

都有

f

x1 f x2
x1 x2

0 0 或者

x1 x2 f x1 f x2 0 0 ,可得到 f x 是增(减)函数.

11.若 f (x) lg(x2 2ax 1 a) 在区间 (,1] 上单调递减,则 a 的取值范围为( )

A. [1,2)

B. 1,2

C. [1,+)

D.

[2,+)

【答案】A 【解析】 分析:由题意,在区间(﹣∞,1]上,a 的取值需令真数 x2﹣2ax+1+a>0,且函数 u=x2﹣2ax+1+a 在区间(﹣∞,1]上应单调递减,这样复合函数才能单调递减. 详解:令 u=x2﹣2ax+1+a,则 f(u)=lgu, 配方得 u=x2﹣2ax+1+a=(x﹣a)2 ﹣a2+a+1,故对称轴为 x=a,如图所示:

由图象可知,当对称轴 a≥1 时,u=x2﹣2ax+1+a 在区间(﹣∞,1]上单调递减,

又真数 x2﹣2ax+1+a>0,二次函数 u=x2﹣2ax+1+a 在(﹣∞,1]上单调递减, 故只需当 x=1 时,若 x2﹣2ax+1+a>0, 则 x∈(﹣∞,1]时,真数 x2﹣2ax+1+a>0, 代入 x=1 解得 a<2,所以 a 的取值范围是[1,2) 故选 A.

点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间 a,b 上

单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段 的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性 对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.

12.已知函数

f

(x)



log2 ( 4,
x 1

x x

1) x (1, [3, )

3)

,则函数

g

(

x)



f[f

(x)] 1的零点个数为

()

A. 1
【答案】C

B. 3

C. 4

D. 5

【解析】



f

(x)

1得 x1

1 2

, x2

1, x3

5 ,令 g(x)



f[f

(x)] 1 0 ,作出图象如图所示:

由图象可得,当 f (x) 1 时无解,当 f (x) 1时有 3 个解,当 f (x) 5 时有1个解,综上 2
所述函数 g(x) f [ f (x)] 1的零点个数为 4 ,故选 C .
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及函数的零点、数形结合思想的应用,属于 难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题 的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为 研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:

1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

13.方程 x2 2mx m2 1 0 的一根在(0,1)内,另一根在(2,3)内,则实数 m 的取

值范围是_____.
【答案】(1, 2)
【解析】
f 0 0 f 1 0 试题分析:设 f (x) x2 2mx m2 1 ,由题意得{ f 2 0 ,解不等式得实数 m 的取值 f 3 0

范围是(1, 2)
考点:一元二次方程根的分布
14.若函数 y (1)1x m 存在零点,则 m 的取值范围是__________. 2
【答案】

【解析】

试 题 分 析 : 解 : 设 y (1)1x m , 因 为 1 x t 00 (1)t 1 , 所 以 函 数 函 数

2

2

y (1)1x m 存在零点时,则满足 m 的取值范围是-1 m<0,故答案为 2

考点:函数的零点

点评:本题考查函数的零点,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.

15.当 x∈(1,3)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是



【答案】(﹣∞,﹣5].

【解析】

【详解】利用函数 f(x)=x2+mx+4 的图象,

∵x∈(1,3)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,



,即



解得 m≤﹣5. ∴m 的取值范围是(﹣∞,﹣5].

故答案为(﹣∞,﹣5].

16.已知函数 f (x) 2x 1 4 2x 的定义域为 D,当 x D 时, f (x) m 恒成立,则实 数 m 的取值范围是__________ 【答案】[5, )
【解析】 【分析】
首先根据偶次根式满足的条件,求得函数的定义域,之后根据当 x D 时, f x m 恒成

立,得到 f (x)max m 成立即可,根据函数的单调性求得函数的最大值,最后求得结果.

【详解】令 4 2x 0 ,解得 x 2 ,所以函数的定义域为 (, 2] ,

当 x D 时, f x m 恒成立,即为 f (x)max m 成立, 又因为 f x 2x 1 4 2x 在其定义域上 增函数,

是 故 f (x)max f (2) 5,所以m5,

故答案是[5, ) .

【点睛】该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围的求解问题,涉及到的知识点

有函数的定义域的求法,恒成立转化为函数的最值,应用函数的单调性求函数的最大值,最

后求得结果.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)

17.计算下列各式的值:

(1)

1
0.064 3







7 8

0

160.75



1
0.012



(2)

2

log3

2



log3

32 9



log3

8



25log5

3



【答案】(1) 48 (2)-7 5
【解析】 【分析】 (1)利用指数的运算法则,求出表达式的值即可. (2)利用对数的运算法则求解即可.

【详解】(1)原式

0.43

1

3

3 1164

1

5 1

24

3
4

1

5 18

1

48 ;

10 2

10 2

10 5

(2)原式



log3

4

log3

32 9



log3

8

25log25 9



log3



4



9 32

8



9



log3

9



9



2

9



7

.

【点睛】本题考查有理指数幂的运算法则,对数的运算法则,考查计算能力.

18.已知集合 A {x | m 1 x 2m 3},函数 f (x) lg x2 2x 8 的定义域为 B .

(1)当 m 2 时,求 A U B 、 ?R A B ;
(2)若 A I B A ,求实数 m 的取值范围.
【 答 案 】 (1) A B {x | 2 x 7} , ?R A I B {x | 2 x 1} ; (2)



,

4





1,

1 2





【解析】

【分析】

(1)根据题意,由 m 2 可得 A {x |1 x 7} ,由并集定义可得 A U B 的值,由补集定

义可得 ?R A {x | x 1 或 x 7},进而由交集的定义计算可得 ?R A B ,即可得答案;
(2)根据题意,分析可得 A B ,进而分 2 种情况讨论:①、当 A 时,有 m 1 2m 3 ,
m 1 2m 3 ②当 A 时,有 m 1 2 ,分别求出 m 的取值范围,进而对其求并集可得答案.
2m 3 4

【详解】根据题意,当 m 2 时, A {x |1 x 7} ,

f (x) lg x2 2x 8 有意义,则 x2 2x 8 0 ,得 B {x | 2 x 4} ,

则 A B {x | 2 x 7},

又 ?R A {x | x 1 或 x 7},则 ?R A I B {x | 2 x 1};

(2)根据题意,若 A I B A ,则 A B ,

分 2 种情况讨论:

①当 A 时,有 m 1 2m 3 ,解可得 m 4 ,

②当 A 时,

m 1 2m 3

若有 A B ,必有 m 1 2 2m 3 4

,解可得 1 m 1 , 2

综上可得:

m

的取值范围是:



,

4





1,

1 2





【点睛】本题考查集合间关系的判定,涉及集合间的混合运算,考查了学生的计算能力,培 养了学生分析问题与解决问题的能力.

19.已知函数 f (x) loga (x 1) loga (1 x) ,



.

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域;

(Ⅱ)判断 f (x) 的奇偶性并予以证明;

(Ⅲ)当 a 1时,求使 f (x) 0 的 x 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)x | 1 x 1.(Ⅱ) f (x) 为奇函数.(Ⅲ)x | 0 x 1.

【解析】

【详解】解: (Ⅰ) f (x) loga (x 1) loga (1 x) ,则

x 1 0,

{ 1



x



0.

解得

1



x



1.

故所求定义域为x | 1 x 1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) 的定义域为x | 1 x 1,

且 f (x) loga (x 1) loga (1 x) loga (x 1) loga (1 x) f (x) ,
故 f (x) 为奇函数.
(Ⅲ)因为当 a 1时, f (x) 在定义域x | 1 x 1内是增函数,

所以 f (x) 0 x 1 1. 1 x
解得 0 x 1.
所以使 f (x) 0 的 x 的取值范围是x | 0 x 1 .

20.已知定义域为 R 的函数

f

(x)



2x 2 x 1

b 是奇函数. 2

(1)求 b 值;

(2)判断函数 f (x) 的单调性,并用定义证明;

的 (3)当

x

1 2

, 3

时,

f

kx2

f (2x 1) 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

【答案】(1) b 1 (2) 减函数,证明见解析;(3) (, 1) .
【解析】 【分析】

(1)利用奇函数的性质令 f (0) 0 ,求解 b 即可.
(2)利用函数的单调性的定义证明即可. (3)利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式,求解即可.

【详解】(1)∵ f (x) 在定义域 R 上是奇函数, 所以 f (0) 0 ,即 1 b 0 ,∴ b 1,
2a 经检验,当 b 1时,原函数是奇函数.

(2) f (x) 在 R 上是减函数,证明如下:

由(1)知

f

(x)



1 2x1

2x 2





1 2



1 2x 1



任取 x1, x2 R ,设 x1 x2 ,

1

1

2x1 2x2

则f

x2

f

x1







2x2 1 2x1 1

2x1 1

2x2 1 ,

∵函数 y 2x 在 R 上是增函数,且 x1 x2 ,
∴ 2x1 2x2 0,又 2x1 1 2x2 1 0 ,

∴ f x2 f x1 0,即 f x2 f x1 ,

∴函数 f (x) 在 R 上是减函数.
(3)因 f (x) 是奇函数,从而不等式 f kx2 f (2x 1) 0 等价于 f kx2 f (2x 1) ,

由(2)知 f (x) 在 R 上是减函数,由上式推得 kx2 1 2x ,

即对任意

x





1 2

,

3

,有

k



1

2x x2

恒成立,



1 2x x2





1 x

2



2



1 x



令t



1 x

,t



1 3

, 2

,则可设

g (t )



t2



2t

,t



1 3

,

2



∴ g(t)min g(1) 1,
∴ k 1 ,即 k 的取值范围为 (, 1) .
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用,考查函数与方程的思想,是中档 题. 21.“绿水青山就是金山银山”,随着我国经济的快速发展,国家加大了对环境污染的治理力 度,某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察,发现该厂产生的废气经过过滤
排放后,过滤过程中废气的污染物数量 P 千克/升与时间 t 小时间的关系为 P P0ekt ,如果
在前 5 个小时消除了 10%的污染物, (1)10 小时后还剩百分之几的污染物
(2)污染物减少 50%需要花多少时间(精确到 1 小时)参考数据:ln 2 0.69 ,ln 0.9 0.11
【答案】(1) 81% (2) 32 小时. 【解析】 【分析】
(1)根据条件可得 e5k 0.9 ,从而有 e10t 0.81 ,得出结论;
t
(2)令 ekt (e5k )5 0.5 ,取对数得出 t 的值. 【详解】(1)由题意可知 P0 e5k 0.9P0 ,
故 e5k 0.9 ,∴ e10k 0.81,

即 t 10 时, P 0.81P0 .

故 10 小时后还剩 81%的污染物.

t
(2)令 ekt 0.5 可得 (e5k )5 0.5 ,



0.9

t 5



0.5 ,∴

t 5



log0.9

0.5 ,



t



5 log0.9

0.5



5ln 0.5 ln 0.9



5ln 2 ln 0.9



5 0.69 0.11



32



故污染物减少 50%需要花 32 小时.

【点睛】本题考查了函数值的计算,考查对数的运算性质,准确理解题意,整体代入运算是

关键,属于中档题.

22.设函数 f(x)是增函数,对于任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求 f(0);

(2)证明 f(x)是奇函数;

(3)解不等式 1 f(x2)—f(x)> 1 f(3x).

2

2

【答案】(1)0;(2)见解析;(3){x|x&lt;0 或 x&gt;5}

【解析】

【详解】试题分析:(1)利用已知条件通过 x=y=0,直接求 f(0);(2)通过函数的奇偶性

的定义,直接证明 f(x)是奇函数;(3)利用已知条件转化不等式.通过函数的单调性直

接求解不等 1 f (x2 ) f (x) 1 f (3x) 的解集即可.

2

2

试题解析:(1)令 x y 0 ,得 f (0) f (0 0) f (0) f (0) ,

∴ f (0) 0
定义域关于原点对称
y x ,得 f (x) f (x) f (0) 0 ,

∴ f (x) f (x) ∴ f (x) 是奇函数

1 f (x2 ) f (x) 1 f (3x) , f x2 f 3x 2 (f x),

2

2

即 (f x2) (f 3x)>2 (f x),

又由已知得: f (2x) 2 (f x) f x2 3x f 2x,

由函数 (f x)是增函数,不等式转化为 x2 3x 2x. x2 5x 0,
∴不等式的解集{x|x<0 或 x>5}. 考点:抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断;其他不等式的解法. 【方法点睛】解决抽象函数问题常用方法:1.换元法:换元法包括显性换元法和隐性换元 法,它是解答抽象函数问题的基本方法; 2.方程组法:运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题; 3.待定系数法:如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的 问题; 4.赋值法:有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解 决; 5.转化法:通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立 联系,为问题的解决带来极大的方便; 6.递推法:对于定义在正整数集 N*上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具 有递推性,也常用递推法来求解; 7.模型法:模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数 模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法;应掌握下面常 见的特殊模型:



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