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北师大新版九年级(下) 中考题同步试卷:2.4 二次函数的应用(17)


北师大新版九年级(下)中考题同步试卷:2.4 二次函数的应用 (17)
一、解答题(共 30 小题) 1.在平面直角坐标系中,已知抛物线 y= x +bx+c(b,c 为常数)的顶点为 P,等腰直
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角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,﹣1) ,C 的坐标为(4,3) ,直角顶点 B 在第四象 限. (1)如图,若该抛物线过 A,B 两点,求该抛物线的函数表达式; (2)平移(1)中的抛物线,使顶点 P 在直线 AC 上滑动,且与 AC 交于另一点 Q. (i)若点 M 在直线 AC 下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以 M、P、Q 三点 为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点 M 的坐标; (ii)取 BC 的中点 N,连接 NP,BQ.试探究 最大值;若不存在,请说明理由. 是否存在最大值?若存在,求出该

2.如图,已知抛物线 y=﹣ x +bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,若已 知 A 点的坐标为 A(﹣2,0) . (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程; (2)求点 C 的坐标,连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式; (3)试判断△AOC 与△COB 是否相似?并说明理由; (4)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ACQ 为等腰三角形?若存在,求出符合条 件的 Q 点坐标;若不存在,请说明理由.

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3.如图,已知:如图①,直线 y=﹣

x+

与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,两动点 D、

E 分别从 A、B 两点同时出发向 O 点运动(运动到 O 点停止) ;对称轴过点 A 且顶点为 M 的抛物线 y=a(x﹣k) +h(a<0)始终经过点 E,过 E 作 EG∥OA 交抛物线于点 G,交 AB 于点 F,连结 DE、DF、AG、BG.设 D、E 的运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个单位长度/秒,运动时间为 t 秒. (1)用含 t 代数式分别表示 BF、EF、AF 的长; (2)当 t 为何值时,四边形 ADEF 是菱形?判断此时△AFG 与△AGB 是否相似,并说明 理由; (3) 当△ADF 是直角三角形, 且抛物线的顶点 M 恰好在 BG 上时, 求抛物线的解析式.
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4.在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 ABCO 的顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴正半轴上,点 P 在 AB 上,PA=1,AO=2.经过原点的抛物线 y=mx ﹣x+n 的对称轴是直线 x=2. (1)求出该抛物线的解析式. (2)如图 1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在 P 点处,两直角边恰好分 别经过点 O 和 C.现在利用图 2 进行如下探究: ①将三角板从图 1 中的位置开始, 绕点 P 顺时针旋转, 两直角边分别交 OA、 OC 于点 E、
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F,当点 E 和点 A 重合时停止旋转.请你观察、猜想,在这个过程中, 变化?若发生变化,说明理由;若不发生变化,求出 的值.

的值是否发生

②设(1)中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 D,顶点为 M,在①的旋转过程中,是否 存在点 F,使△DMF 为等腰三角形?若不存在,请说明理由.

5.如图,已知抛物线 y=2x ﹣2 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于 点 C. (1)写出以 A,B,C 为顶点的三角形面积; (2)过点 E(0,6)且与 x 轴平行的直线 l1 与抛物线相交于 M、N 两点(点 M 在点 N 的左侧) ,以 MN 为一边,抛物线上的任一点 P 为另一顶点做平行四边形,当平行四边形 的面积为 8 时,求出点 P 的坐标; (3)过点 D(m,0) (其中 m>1)且与 x 轴垂直的直线 l2 上有一点 Q(点 Q 在第一象 限) ,使得以 Q,D,B 为顶点的三角形和以 B,C,O 为顶点的三角形相似,求线段 QD 的长(用含 m 的代数式表示) .

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6.如图 1,已知 A(3,0) 、B(4,4) 、原点 O(0,0)在抛物线 y=ax +bx+c (a≠0)上. (1)求抛物线的解析式. (2)将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点 D,求 m 的值及点 D 的坐标. (3)如图 2,若点 N 在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有
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满足△POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应)

7.如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象的顶点 C 的坐标为(0,﹣2) ,交 x 轴于 A、B 两点, 其中 A(﹣1,0) ,直线 l:x=m(m>1)与 x 轴交于 D. (1)求二次函数的解析式和 B 的坐标; (2)在直线 l 上找点 P(P 在第一象限) ,使得以 P、D、B 为顶点的三角形与以 B、C、 O 为顶点的三角形相似,求点 P 的坐标(用含 m 的代数式表示) ; (3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点 Q,使△BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理 由.

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8.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,过点 A、C、D 作抛物线 y=ax +bx+c(a≠0) ,与 x 轴的另一交点为 E,连结 CE,点 A、B、D 的坐标分别为(﹣2,0) 、 (3,0) 、 ( 0 ,4 ) . (1)求抛物线的解析式; (2)已知抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 F,交线段 CD 于点 K,点 M、N 分别是直线 l 和 x 轴上的动点,连结 MN,当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时,求点 N 的坐标;
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(3)在满足(2)的条件下,过点 M 作一条直线,使之将四边形 AECD 的面积分为 3:4 的两部分,求出该直线的解析式.

9.在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过点 A(1,0) 、B(3,0)两点. (1)写出这个二次函数图象的对称轴; (2)设这个二次函数图象的顶点为 D,与 y 轴交于点 C,它的对称轴与 x 轴交于点 E, 连接 AC、DE 和 DB,当△AOC 与△DEB 相似时,求这个二次函数的表达式. [提示:如果一个二次函数的图象与 x 轴的交点为 A(x1,0) 、B(x2,0) ,那么它的表达 式可表示为 y=a(x﹣x1) (x﹣x2)].

10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax +bx+c 交 y 轴于点 C(0,4) ,对称轴 x =2 与 x 轴交于点 D,顶点为 M,且 DM=OC+OD. (1)求该抛物线的解析式; (2)设点 P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD 的面积为 S,求 S 关 于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若经过点 P 的直线 PE 与 y 轴交于点 E,是否存在以 O、P、E 为顶点的三角形与△OPD 全等?若存在,请求出直线 PE 的解析式;若不存在,请说明 理由.

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11.如图,已知二次函数 y=(x﹣m) ﹣4m (m>0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点. (1)写出 A、B 两点的坐标(坐标用 m 表示) ; (2)若二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上,求二次函数的解析式; (3)在(2)的基础上,设以 AB 为直径的⊙M 与 y 轴交于 C、D 两点,求 CD 的长.

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12.如图,抛物线 y=ax +bx+c 关于直线 x=1 对称,与坐标轴交与 A,B,C 三点,且 AB =4,点 D(2, )在抛物线上,直线 l 是一次函数 y=kx﹣2(k≠0)的图象,点 O 是 坐标原点. (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 l 平分四边形 OBDC 的面积,求 k 的值; (3)把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线与直线 l 交于 M, N 两点,问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P,使得不论 k 取何值,直线 PM 与 PN 总是 关于 y 轴对称?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

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13.如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧) ,已知 A 点坐标为(0,﹣5) . (1)求此抛物线的解析式; (2) 过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D, 如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切, 请判断抛物线的对称轴 l 与⊙C 有什么位置关系,并给出证明; (3)在抛物线上是否存在一点 P,使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

14.如图,抛物线 y=﹣ x +mx+n 经过△ABC 的三个顶点,点 A 坐标为(0,3) ,点 B 坐 标为(2,3) ,点 C 在 x 轴的正半轴上. (1)求该抛物线的函数关系表达式及点 C 的坐标; (2)点 E 为线段 OC 上一动点,以 OE 为边在第一象限内作正方形 OEFG,当正方形的 顶点 F 恰好落在线段 AC 上时,求线段 OE 的长; (3) 将 (2) 中的正方形 OEFG 沿 OC 向右平移, 记平移中的正方形 OEFG 为正方形 DEFG, 当点 E 和点 C 重合时停止运动.设平移的距离为 t,正方形 DEFG 的边 EF 与 AC 交于点
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M,DG 所在的直线与 AC 交于点 N,连接 DM,是否存在这样的 t,使△DMN 是等腰三 角形?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (4)在上述平移过程中,当正方形 DEFG 与△ABC 的重叠部分为五边形时,请直接写 出重叠部分的面积 S 与平移距离 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围;并求出当 t 为何 值时,S 有最大值,最大值是多少?

15. 如图,抛物线 y=ax +bx+3 与 x 轴相交于点 A (﹣1,0) 、B (3,0) , 与 y 轴相交于点 C, 点 P 为线段 OB 上的动点(不与 O、B 重合) ,过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E、F,点 D 在 y 轴正半轴上,OD=2,连接 DE、OF. (1)求抛物线的解析式; (2)当四边形 ODEF 是平行四边形时,求点 P 的坐标; (3)过点 A 的直线将(2)中的平行四边形 ODEF 分成面积相等的两部分,求这条直线 的解析式. (不必说明平分平行四边形面积的理由)

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16.如图,△ABC 的顶点坐标分别为 A(﹣6,0) ,B(4,0) ,C(0,8) ,把△ABC 沿直线 BC 翻折, 点 A 的对应点为 D, 抛物线 y=ax ﹣10ax+c 经过点 C, 顶点 M 在直线 BC 上. (1)证明四边形 ABCD 是菱形,并求点 D 的坐标; (2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
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(3)在抛物线上是否存在点 P,使得△PBD 与△PCD 的面积相等?若存在,直接写出 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

17. 已知. 在 Rt△OAB 中, ∠OAB=90°, ∠BOA=30°, OA=

, 若以 O 为坐标原点,

OA 所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点 B 在第一象限内,将 Rt△OAB 沿 OB 折叠后,点 A 落在第一象限内的点 C 处. (1)求经过点 O,C,A 三点的抛物线的解析式. (2)求抛物线的对称轴与线段 OB 交点 D 的坐标. (3) 线段 OB 与抛物线交于点 E, 点 P 为线段 OE 上一动点 (点 P 不与点 O, 点 E 重合) , 过 P 点作 y 轴的平行线,交抛物线于点 M,问:在线段 OE 上是否存在这样的点 P,使 得 PD=CM?若存在,请求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

18.如图,二次函数的图象与 x 轴相交于点 A(﹣3,0) 、B(﹣1,0) ,与 y 轴相交于点 C (0,3) ,点 P 是该图象上的动点;一次函数 y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点 P 交 x 轴于 点 Q. (1)求该二次函数的解析式; (2)当点 P 的坐标为(﹣4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC; (3)点 M,N 分别在线段 AQ、CQ 上,点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从点 A 向点 Q
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运动,同时,点 N 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 向点 Q 运动,当点 M,N 中有一点 到达 Q 点时,两点同时停止运动,设运动时间为 t 秒. ①连接 AN,当△AMN 的面积最大时,求 t 的值; ②直线 PQ 能否垂直平分线段 MN?若能,请求出此时点 P 的坐标;若不能,请说明你 的理由.

19.如图,已知以 E(3,0)为圆心,以 5 为半径的⊙E 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交 于 C 点,抛物线 y=ax +bx+c 经过 A,B,C 三点,顶点为 F. (1)求 A,B,C 三点的坐标; (2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标; (3)已知 M 为抛物线上一动点(不与 C 点重合) ,试探究: ①使得以 A,B,M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等,求所有符合条件的点 M 的坐标; ②若探究①中的 M 点位于第四象限,连接 M 点与抛物线顶点 F,试判断直线 MF 与⊙E 的位置关系,并说明理由.
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20.如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 在 x 轴上,点 C、D 在 y 轴上,且 OB=OC=3, OA=OD=1,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)经过 A、B、C 三点,直线 AD 与抛物线交于 另一点 M. (1)求这条抛物线的解析式; (2)P 为抛物线上一动点,E 为直线 AD 上一动点,是否存在点 P,使以点 A、P、E 为 顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明 理由. (3)请直接写出将该抛物线沿射线 AD 方向平移 个单位后得到的抛物线的解析式.
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21.如图,已知直线 y=x 与抛物线 (1)求交点 A、B 的坐标;

交于 A、B 两点.

(2)记一次函数 y=x 的函数值为 y1,二次函数 的取值范围;

的函数值为 y2.若 y1>y2,求 x

(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与 AB 构成的三角形为等腰三角形?并求出 不少于 3 个满足条件的点 P 的坐标.

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22.已知,如图(a) ,抛物线 y=ax +bx+c 经过点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,C(0,﹣2) , 其顶点为 D. 以 AB 为直径的⊙M 交 y 轴于点 E、 F, 过点 E 作⊙M 的切线交 x 轴于点 N. ∠ ONE=30°,|x1﹣x2|=8. (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)连结 AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点 P,使得△ABP 与△ADB 相似 (除去全等这一情况)?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由; (3)如图(b) ,点 Q 为 上的动点(Q 不与 E、F 重合) ,连结 AQ 交 y 轴于点 H,问:

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AH?AQ 是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

23.如图,在直角梯形 AOCB 中,AB∥OC,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以 O 为原点,OC、OA 所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为 A,且经过点 C.点 P 在线 段 AO 上由 A 向点 O 运动, 点 Q 在线段 OC 上由 C 向点 O 运动, QD⊥OC 交 BC 于点 D, OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点 E. (1)求抛物线的解析式; (2)点 E′是 E 关于 y 轴的对称点,点 Q 运动到何处时,四边形 OEAE′是菱形? (3)点 P、Q 分别以每秒 2 个单位和 3 个单位的速度同时出发,运动的时间为 t 秒,当 t 为何值时,PB∥OD?

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24.如图,已知抛物线 y=ax +bx﹣4 经过 A(﹣8,0) ,B(2,0)两点,直线 x=﹣4 交 x 轴于点 C,交抛物线于点 D. (1)求该抛物线的解析式; (2)点 P 在抛物线上,点 E 在直线 x=﹣4 上,若以 A,O,E,P 为顶点的四边形是平 行四边形,求点 P 的坐标; (3)若 B,D,C 三点到同一条直线的距离分别是 d1,d2,d3,问是否存在直线 l,使 d1 =d2= ?若存在,请直接写出 d3 的值;若不存在,请说明理由.

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25.如图,已知点 A(0,4) ,B(2,0) . (1)求直线 AB 的函数解析式; (2)已知点 M 是线段 AB 上一动点(不与点 A、B 重合) ,以 M 为顶点的抛物线 y=(x ﹣m) +n 与线段 OA 交于点 C. ①求线段 AC 的长; (用含 m 的式子表示) ②是否存在某一时刻,使得△ACM 与△AMO 相似?若存在,求出此时 m 的值.
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26.我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是 y=ax +bx(a≠0) (1)对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1,1)时,a= ;
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当顶点坐标为(m,m) ,m≠0 时,a 与 m 之间的关系式是 (2)继续探究,如果 b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx(k≠0)上,请用含 k 的代数式表示 b; (3)现有一组过原点的抛物线,顶点 A1,A2,…,An 在直线 y=x 上,横坐标依次为 1, 2,…,n(为正整数,且 n≤12) ,分别过每个顶点作 x 轴的垂线,垂足记为 B1,B2,…, Bn,以线段 AnBn 为边向右作正方形 AnBn?nDn,若这组抛物线中有一条经过 Dn,求所有 满足条件的正方形边长. 27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax +bx﹣2 与 x 轴交于点 A(﹣1,0) 、B(4, 0) .点 M、N 在 x 轴上,点 N 在点 M 右侧,MN=2.以 MN 为直角边向上作等腰直角三 角形 CMN,∠CMN=90°.设点 M 的横坐标为 m. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式. (2)求点 C 在这条抛物线上时 m 的值. (3)将线段 CN 绕点 N 逆时针旋转 90°后,得到对应线段 DN. ①当点 D 在这条抛物线的对称轴上时,求点 D 的坐标. ②以 DN 为直角边作等腰直角三角形 DNE,当点 E 在这条抛物线的对称轴上时,直接写 出所有符合条件的 m 值. (参考公式:抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的顶点坐标为(
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) )

28.已知抛物线的顶点为(0,4)且与 x 轴交于(﹣2,0) , (2,0) .

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(1)直接写出抛物线解析式; (2)如图,将抛物线向右平移 k 个单位,设平移后抛物线的顶点为 D,与 x 轴的交点为 A、B,与原抛物线的交点为 P. ①当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切于 E 时,求此时 k 的值; ②是否存在这样的 k 值,使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上?若存在,求出 k 值;若不存在,请说明理由. 29.已知抛物线 y=ax +bx+c 的顶点 A(2,0) ,与 y 轴的交点为 B(0,﹣1) . (1)求抛物线的解析式; (2) 在对称轴右侧的抛物线上找出一点 C, 使以 BC 为直径的圆经过抛物线的顶点 A. 并 求出点 C 的坐标以及此时圆的圆心 P 点的坐标. (3)在(2)的基础上,设直线 x=t(0<t<10)与抛物线交于点 N,当 t 为何值时,△ BCN 的面积最大,并求出最大值.
2

30.如图,抛物线 标为(3,0) .

与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C,已知点 B 的坐

(1)求 a 的值和抛物线的顶点坐标; (2)分别连接 AC、BC.在 x 轴下方的抛物线上求一点 M,使△AMC 与△ABC 的面积 相等; (3)设 N 是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|.探究:是否存在一点 N,使 d 的值最大?若存在, 请直接写出点 N 的坐标和 d 的最大值; 若不存在, 请简单说明理由.

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北师大新版九年级(下)中考题同步试卷:2.4 二次函数 的应用(17)
参考答案

一、解答题(共 30 小题) 1. 8. 15. 22. 27.
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; 2. ; 9. ; 16. ; 23. ; 28.

; 3. ; 10. ; 17. ; 24. ; 29.

; 4. ; 11. ; 18. ; 25.

; 5. ; 12. ; 19.

; 6. ; 13. ; 20.

; 7. ; 14. ; 21.

; ; ;

; 26.﹣1;a=﹣ (或 am+1=0) ; ;

; 30.

日期:2019/3/24 14:23:06; 用户:qgjyus er10 361;邮箱:q gjyus er10361.219 57750;学号 :21985368

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