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小波分析基础学习资料PPT课件_图文


一、认识小波 1、预备知识 从数学的角度讲,小波是构造函数空间正交基的基本单元, 是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数,这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识,特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。 从信号处理的角度讲,小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具,是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的,所以从信 号处理的角度认识小波,需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。 一个信号从数学的角度来看,它是一个自变量为时间t的 函数f(t)。因为信号是能量有限的,即 ??? f (t) 2 dt ?? (1.1) 满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R) 图像是二维信号,同样是能量有限的。实际上任何一幅 数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。 从数学上看,图像是定义在L2(R2)上的函数。 如图1所示的LENA图像f(x,y),假设图像的大小是512x512,量 化级是256,即 0 ? f (x, y) ? 255 0 ? x, y ? 511 y x 2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对f(t)?L2(R),存在L2(R) 的一组标准正交基gi(t),t ?R, i=1,2,…使得 ?? ? f (t) ? ci gi (t) (1.2) i ?1 其中 ?? ? ci ?? f (t), gi (t) ?? ?? f (t)gi (t)dt ? ? gk (t), gl (t) ?? ?? ?? gk (t ) g l (t)dt ? ? kl,k , l ?Z (1.3) 对于给定信号f(t),关键是选择合适的基gi(t) ,使得 f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性,但是如果某 一个基不满足要求,可通过变换将函数转换到另一个基下表 示,才能得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有: (1) K-L变换 (2) Walsh变换 (3) 傅立叶变换 (4) 小波变换 如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经 傅立叶变换由时域变换到频域,基底不同得到大变换也不同。 在信号处理中,有两类非常重要的变换即傅立叶变换和 小波变换。目前,可简单地将小波理解为满足以下两个条件 的特殊信号: (1)小波必须时振荡的; (2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零,即是局 部化的。 一些著名的小波[3]: 1、Daubechies小波 2、Coiflets小波 3、Symlets小波 4、Morlet小波 6、Meyer小波 5、Mexican Hat小波 SKIP 不是小波的例 RETURN 3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道,任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和 振荡函数表示成如下形式: ? f (t) ? a0 2 ? ?? i ?1 (ak cos k?0t ? bk sin k?0t) (1.4) 这就是著名的傅立叶级数,cos k?0t和sin k?0t 都是简单的调和 振荡函数,直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数, 可由以下公式计算: ?2 ak ? T T 0 f (t) cosk?0tdt,k ? 0,1,2?? (1.5) ? bk ? 2 T T 0 f (t) s in k?0tdt,k ? 0,1,2?? (1.6) 于是,周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对 应,即 f (t) ? ?a0,(a1,b1),(a2,b2 ),??? (1.7) 从数学上已经证明了,傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近: ? ? lim N ?? T 0 f (t ) ? ? ? ? a0 2 ? N 2 ?ak cos k?0t ? bk sin k?0t??? dx ? 0 k ?1 ? (1.8) 对于L2(R)上的非周期函数f(t) ,有 ? f? (? ) ? ?? f (t)e?i?t dt ?? (1.9) 称 f? (?)为f(t)的傅立叶变换,反变换公式为 ? f (t) ? ?? f? (? )ei?t d? ?? (1.10) 有了傅立叶变换,我们可以很容易地将时域信号f(t)转换到频 域 f? (?)上,于是信号的频率特性一目了然,并且与傅立叶级数 一样,傅立叶变换将一段信号的主要低频能量都集中在频率信 号的前面几项,这种能量集中性有利于进一步的处理。在过去 200年里,傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用, 但傅立叶分析也有不足,主要表现在以下两点: ? 傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性; ? 傅立叶分析对非平稳信号的处理效果不好。 下面通过例子来说明这两点。 例、歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数,其傅立叶变换就是将这个波函数转 化成某种乐谱。但遗憾地是,傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音, 在哪一时刻有低音,因此结果是所有的音符都挤在了一起,如图所示。 小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点,信号变换到 小波域后,小波不仅能检测到高音与低音,而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应,如图所示。 因此我们需要这样一个数学工具:既能在时域很好地刻画信号的局部性, 同时也能在频域反映信号的局部性,这种数学工具就是“小波”。从函 数分解的角度,希望能找到另外一个基函数?(t) 来代替sint。?(t) 应 满足以下三个特性: ? 任何复杂的信号f(t),都能由一个母函数?(t) 经过伸缩和平移产生 的基底的线性组合表示; ? 信号用新的基展开的系数要能反映出信号在时域上的局部化特性; ? 新的基函数?(t) 及其伸缩平移要比三角基sint更好地匹配非平稳信 号。 历史上


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